第六節(jié) 彎曲內(nèi)力

本節(jié)大綱要求：梁的內(nèi)力方程；剪力圖和彎矩圖；分部載荷、剪力、彎矩之間的微分關(guān)系，正應(yīng)力強(qiáng)度條件；切應(yīng)力強(qiáng)度條件；梁的合理截面；彎曲中心概念；求梁變形的積分法、疊加法。

一、平面彎曲的概念

彎曲變形是桿件的基本變形之一。以彎曲為主要變形的桿件通常稱(chēng)為梁。

彎曲變形特征：任意兩橫截面繞垂直桿軸線的軸作相對(duì)轉(zhuǎn)動(dòng)，同時(shí)桿的軸線也彎成曲線。

平面彎曲：荷載作用面(外力偶作用面或橫向力與梁軸線組成的平面)與彎曲平面(即梁軸線彎曲后所在平面)相平行或重合的彎曲。

產(chǎn)生平面彎曲的條件：

(一)梁具有縱對(duì)稱(chēng)面時(shí)，只要外力(橫向力或外力偶)都作用在此縱對(duì)稱(chēng)面內(nèi)。

(二)非對(duì)稱(chēng)截面梁

純彎曲時(shí)，只要外力偶作用在與梁的形心主慣性平面(即梁的軸線與其橫截面的形心主慣性軸所構(gòu)成的平面)平行的平面內(nèi)。

橫力彎曲時(shí)，橫向力必須通過(guò)橫截面的彎曲中心并在與梁的形心主慣性平面平行的平面內(nèi)。

二、梁橫截面上的內(nèi)力分量——剪力與彎矩

（一）剪力與彎矩

剪力：梁橫截面上切向分布內(nèi)力的合力，稱(chēng)為剪力，以v表示。和教材中的fs一個(gè)意思。

彎矩：梁橫截面上法向分布內(nèi)力形成的合力偶矩，稱(chēng)為彎矩，以m表示。

剪力與彎矩的符號(hào) 考慮梁微段dx，使右側(cè)截面對(duì)左側(cè)截面產(chǎn)生向下相對(duì)錯(cuò)動(dòng)的剪力為正，反之為負(fù)；使微段產(chǎn)生凹向上的彎曲變形的彎矩為正，反之為負(fù)。

由截面法可知：

橫截面上的剪力，其數(shù)值等于該截面左側(cè)(或右側(cè))梁上所有外力在橫截面方向的投影代數(shù)和；且左側(cè)梁上向上的外力或右側(cè)梁上向下的外力引起正剪力，反之則引起負(fù)剪力。

橫截面上的彎矩，其數(shù)值等于該截面左側(cè)(或右側(cè))梁上所有外力對(duì)該截面形心的力矩代數(shù)和；且向上外力均引起正彎矩，左側(cè)梁上順時(shí)針轉(zhuǎn)向的外力偶及右側(cè)梁上逆時(shí)針轉(zhuǎn)向的外力偶引起正彎矩，反之則產(chǎn)生負(fù)彎矩。

（二）剪力方程與彎矩方程

剪力方程：表示沿桿軸各橫截面上剪力隨截面位置變化的函數(shù)，稱(chēng)為剪力方程，表示為

v=v(x)

彎矩方程：表示沿桿軸各橫截面上彎矩隨截面位置變化的函數(shù)，稱(chēng)為彎矩方程，表示為

m=m(x)

（三）剪力圖與彎矩圖

剪力圖：表示沿桿軸各橫截面剪力隨截面位置變化的圖線，稱(chēng)為剪力圖。

彎矩圖：表示沿桿軸各橫截面上彎矩隨截面位置變化的圖線，稱(chēng)為彎矩圖。

三、荷載集度與剪力、彎矩間的關(guān)系及應(yīng)用

（一）q、v、m間的微分關(guān)系

設(shè)荷載集度q(x)為截面位置x的連續(xù)函數(shù)、且規(guī)定以向上為正，則有

（二）應(yīng)用

1．校核剪力圖、彎矩圖的正確性

根據(jù)一階導(dǎo)數(shù)的幾何意義，式(5－6—1)和式(5－6－2)表明剪力圖上某點(diǎn)的切線斜率等于梁上相應(yīng)點(diǎn)處的荷載集度，彎矩圖上某點(diǎn)的切線斜率等于梁上相應(yīng)截面上的剪力。

由式(5—6—3)的幾何意義可根據(jù)m(x)對(duì)x二階導(dǎo)數(shù)的正負(fù)，定出m(x)圖的凹向；若q(x)>0，則m圖為上凸的曲線；若q(x)<0，則m圖為下凸的曲線。若q(x)=0，則m圖為直線。

2．利用微分關(guān)系作剪力圖和彎矩圖

由式(5—6—1)可得

即截面b上的剪力與截面a上的剪力之差等于梁上ab間荷載集度q(x)圖的面積，但兩截面之間必須無(wú)集中外力作用。

同理，由式(5－6—2)可得

即截b上的彎矩與截面a上的彎矩之差等于梁上ab間剪力圖的面積，但兩截面之間必須無(wú)集中力偶作用。

于是由式(5—6—1)、(5—6－2)，根據(jù)梁上已知的荷載集度，判定剪力、彎矩圖的圖線形狀、凹向等，而由式(5—6—4)、 (5—6—5)確定控制截面的剪力、彎矩值，即可繪制剪力、彎矩圖。

四、特殊截面上的剪力、彎矩值

(一)在集中力作用的截面處，v圖有突變，m圖形成尖角。突變值等于集中力的大小，突變方向與集中力作用方向一致。

(二)在集中力偶作用處，v圖無(wú)變化，但m圖有突變。其突變值等于該力偶之矩，突變方向看該力偶對(duì)后半段梁的影響，即該力偶對(duì)后半段梁為產(chǎn)生正彎矩，則向正方向突變，否則反之。

現(xiàn)將上節(jié)和本節(jié)中有關(guān)彎矩、剪力與荷載間的關(guān)系以及剪力圖和彎矩圖的一些特征匯總整理為表5－6－1，以供參考。

[例5－6—1] 圖5—6—2所示懸臂梁，承載如圖。試列出剪力方程、彎矩方程并作v、m圖。

[解] 因梁上荷載不連續(xù)故需分段列方程。

用任意截面nn截開(kāi)梁，取左部為脫離體，如圖(b)所示。由∑y=0，

同理用任意截面kk截開(kāi)梁，取左部為脫離體如圖(c)所示。由∑y=0，

根據(jù)剪力方程、彎矩方程作圖。對(duì)于線性方程只需算出各段的端值然后連直線即可。

v、m圖如圖(d)、(e)所示。

[例5—6—2] 寫(xiě)出圖示梁的剪力方程和彎矩方程，并作剪力圖和彎矩圖。

[解] 1．首先求支座反力-正確的計(jì)算支座反例是繪制內(nèi)力圖的關(guān)鍵。

故所求的支座反力正確。

2．分段建立剪力方程和彎矩方程

3．作剪力圖和彎矩圖

根據(jù)ac段，cb段剪力方程繪制剪力圖

ac段：v為常量，故y圖為水平線。

cb段：v為一次函數(shù)，因而y圖為斜直線：只需確定兩個(gè)截面v值。

根據(jù)ac段，cb段彎矩方程繪制彎矩圖

ac段 m為一次函數(shù)，因而m圖為一斜直線，只需確定兩個(gè)截面m值。

cb段 m為二次拋物線，只少要確定三個(gè)截面m值，然后用光滑曲線連起來(lái)。

拋物線頂點(diǎn)在 v=2qa-qx=0處

x=2a

第七節(jié) 彎曲應(yīng)力

一、彎曲正應(yīng)力正應(yīng)力強(qiáng)度條件-教材的88頁(yè)

（一）純彎曲

梁的橫截面上只有彎矩而無(wú)剪力時(shí)的彎曲，稱(chēng)為純彎曲。

圖純彎曲

圖中性層與中性軸

中性層桿件彎曲變形時(shí)既不伸長(zhǎng)也不縮短的一層。

中性軸中性層與橫截面的交線，即橫截面上正應(yīng)力為零的各點(diǎn)的連線。

中性軸位置：當(dāng)桿件發(fā)生平面彎曲，且處于線彈性范圍時(shí)，中性軸通過(guò)橫截面形心，且垂直于荷載作用平面。

hw083

中性層的曲率：桿件發(fā)生平面彎曲時(shí)，中性層(或桿軸)的曲率與彎矩間的關(guān)系為

式中 ρ為變形后中性層(或桿軸)的曲率半徑；ei_z為桿的抗彎剛度，軸z為橫截面的中性軸。

（二）平面彎曲桿件橫截面上的正應(yīng)力

分布規(guī)律：正應(yīng)力的大小與該點(diǎn)至中性軸的垂直距離成正比，中性軸一側(cè)為拉應(yīng)力，另一側(cè)為壓應(yīng)力，如圖5—7—1(a)所示。

計(jì)算公式

任一點(diǎn)應(yīng)力-

最大應(yīng)力

式中 m為所求截面的彎矩，i_z為截面對(duì)中性軸的慣性矩，w_z為抗彎截面系數(shù)。 w_z是一個(gè)只與橫截面的形狀及尺寸有關(guān)的幾何量。對(duì)于矩形截面：

對(duì)于圓形截面：

其余w_z按式w_z＝i_z/y_max計(jì)算。

需要注意的是：1，公式適用于線彈性范圍、且材料在拉伸和壓縮時(shí)彈性模量相等情況。

2．在純彎曲時(shí)，橫截面在彎曲變形后保持平面；橫力彎曲時(shí)（梁的橫截面上同時(shí)有彎矩和剪力），由于剪應(yīng)力的存在，橫截面發(fā)生翹曲，但精確研究指出，工程實(shí)際中的梁，只要跨度與截面高度之比l／h>5，純彎曲時(shí)的正應(yīng)力公式仍適用。

（三）梁的正應(yīng)力強(qiáng)度條件

強(qiáng)度條件梁的最大工作正應(yīng)力不得超過(guò)材料的許用正應(yīng)力，即

注意，當(dāng)梁內(nèi)σtmax（拉）≠σcmax（壓），且材料的[σ_t]≠[σ_c]時(shí)，梁的拉伸與壓縮強(qiáng)度均應(yīng)得到滿(mǎn)足。

二、彎曲剪應(yīng)力剪應(yīng)力強(qiáng)度條件

（一）矩形截面梁的剪應(yīng)力

兩個(gè)假設(shè)：1．剪應(yīng)力方向與截面的側(cè)邊平行。2．沿截面寬度剪應(yīng)力均勻分布(見(jiàn)圖5—7—2)。

計(jì)算公式

式中 v為橫截面上的剪力，b為橫截面的寬度，i_z為整個(gè)橫截面對(duì)中性軸的慣性矩，s_z^*為橫截面上距中性軸為y處橫線一側(cè)的部分截面對(duì)中性軸的靜矩。

最大剪應(yīng)力發(fā)生在中性軸處

（二）其他常用截面圖形的最大剪應(yīng)力

工字型截面

式中 d為腹板厚度，

工字型鋼中，i_z/可查型鋼表。

圓形截面

環(huán)形截面

最大剪應(yīng)力均發(fā)生在中性軸上。

（三）剪應(yīng)力強(qiáng)度條件

梁的最大工作剪應(yīng)力不得超過(guò)材料的許用剪應(yīng)力，即

式中 v_max為全梁的最大剪力；為中性軸一邊的橫截面面積對(duì)中性軸的靜矩；b為橫截面在中性軸處的寬度；i_z為整個(gè)橫截面對(duì)中性軸的慣矩。

三、梁的合理截面

梁的強(qiáng)度通常是由橫截面上的正應(yīng)力控制的。由彎曲正應(yīng)力強(qiáng)度條件，可知，在截面積a一定的條件下，截面圖形的抗彎截面系數(shù)愈大，梁的承載能力就愈大，故截面就愈合理。因此就w_z／a而言，對(duì)工字形、矩形和圓形三種形狀的截面，工字形最為合理，矩形次之，圓形最差。此外對(duì)于[σ_t]=[σ_c]的塑性材料，一般采用對(duì)稱(chēng)于中性軸的截面，使截面上、下邊緣的最大拉應(yīng)力和最大壓應(yīng)力同時(shí)達(dá)到許用應(yīng)力。對(duì)于[σ_t]≠[σ_c]的脆性材料，一般采用不對(duì)稱(chēng)于中性軸的截面如t形、門(mén)形等，使最大拉應(yīng)力σ_tmax和最大壓應(yīng)力σ_cmax一同時(shí)達(dá)到[σ_t] 和[σ_c]，如圖5—7—3所示。

四、彎曲中心的概念-教材95頁(yè)，5.7.5

橫向力作用下，梁分別在兩個(gè)形心主慣性平面xy和xz內(nèi)彎曲時(shí)，橫截面上剪力v_y和v_z作用線的交點(diǎn)，稱(chēng)為截面的彎曲中心，也稱(chēng)為剪切中心。

當(dāng)梁上的橫向力不通過(guò)截面的彎曲中心時(shí)，梁除了發(fā)生彎曲變形外還要發(fā)生扭轉(zhuǎn)變形。

彎曲中心是截面幾何性質(zhì)之一，僅與截面的幾何形狀有關(guān)，而與荷載大小和材料性質(zhì)無(wú)關(guān)。

若截面具有一對(duì)稱(chēng)軸，則彎曲中心必在截面的對(duì)稱(chēng)軸上。若截面具有兩個(gè)對(duì)稱(chēng)軸，其交點(diǎn)即為彎曲中心。兩個(gè)狹長(zhǎng)矩形中線的交點(diǎn)即為截面的彎曲中心。比如：t形、l形等狹長(zhǎng)矩形組成的截面，

[例5-7-3] 起吊一根50b工字鋼如圖5-7-6所示。已知工字鋼長(zhǎng)度l=19m，單位長(zhǎng)度重量q=0．99kn／m，材料的許用應(yīng)力[σ]=80mpa。試求吊索的合理位置，并校核起吊時(shí)工字鋼的強(qiáng)度。