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第九講 參數(shù)估計(jì)——點(diǎn)估計(jì)

一、考試要求

1.熟悉點(diǎn)估計(jì)的概念

2.掌握矩法估計(jì)方法

3.熟悉點(diǎn)估計(jì)優(yōu)良性的標(biāo)準(zhǔn)

4.熟悉二項(xiàng)分布、泊松分布、指數(shù)分布、正態(tài)分布參數(shù)的點(diǎn)估計(jì)

二、 內(nèi)容講解

參數(shù)估計(jì)

根據(jù)樣本對(duì)總體進(jìn)行推斷是數(shù)理統(tǒng)計(jì)的核心，參數(shù)估計(jì)與假設(shè)檢驗(yàn)是統(tǒng)計(jì)推斷的兩個(gè)基本內(nèi)容。本節(jié)著重討論參數(shù)估計(jì)問(wèn)題。

這里所說(shuō)的參數(shù)主要是指如下幾類(lèi)：

①分布中的未知參數(shù)，如二項(xiàng)分布b(n，p)中的p，正態(tài)分布 中的 ， 或 。

②分布的均值E(x)、方差Var(x)等未知特征數(shù)。

③其他未知參數(shù)，如某事件的概率P(A)等。

上述未知參數(shù)都需要根據(jù)樣本和參數(shù)的統(tǒng)計(jì)含義選擇適宜的統(tǒng)計(jì)量并作出估計(jì)，這一統(tǒng)計(jì)推斷過(guò)程通稱(chēng)為參數(shù)估計(jì)。未知參數(shù)通常用 表示。

參數(shù)估計(jì)有兩種基本形式：點(diǎn)估計(jì)與區(qū)間估計(jì)。

一、點(diǎn)估計(jì)

(一) 點(diǎn)估計(jì)的概念

設(shè) 是總體的一個(gè)未知參數(shù)，記與總體對(duì)應(yīng)的隨機(jī)變量為X，從中抽取樣本量為n的一個(gè)樣本 。根據(jù)這個(gè)樣本，構(gòu)造一個(gè)統(tǒng)計(jì)量 ，用 來(lái)對(duì) 進(jìn)行估計(jì)，稱(chēng) 為 的點(diǎn)估計(jì)量。對(duì)一個(gè)具體的樣本 ，可計(jì)算 的一個(gè)具體的數(shù)值，稱(chēng)為 的估計(jì)值。在本教材中，除討論統(tǒng)計(jì)量的分布及性質(zhì)外，不嚴(yán)格區(qū)分估計(jì)量及具體估計(jì)值，通稱(chēng)為估計(jì)。

(二)點(diǎn)估計(jì)優(yōu)良性標(biāo)準(zhǔn)

點(diǎn)估計(jì)量 是隨所抽取的樣本不同而不同的，它是一個(gè)隨機(jī)變量。評(píng)價(jià)一個(gè)估計(jì)量 的優(yōu)劣不能從一個(gè)具體樣本獲得的估計(jì)值來(lái)評(píng)判，應(yīng)該從多次使用中來(lái)評(píng)定。

對(duì)于一個(gè)特定的樣本，估計(jì)值 與 的真值之間總是有偏差的，但由于 未知，因此偏差 也未知。但是我們可以通過(guò)多次抽樣，對(duì)不同樣本， 不同的具體估計(jì)值，對(duì)實(shí)際偏差 進(jìn)行“平均”。當(dāng)然這種平均不能直接進(jìn)行，因?yàn)?有正有負(fù)，直接平均由于正負(fù)抵消反而不能反映誤差。與以前對(duì)方差處理的方法相仿，用估計(jì)偏差的平方 來(lái)代替，并對(duì)其求均值，于是用 來(lái)表示估計(jì)量 的優(yōu)劣。這個(gè)量稱(chēng)為 的均方誤差，簡(jiǎn)記為MSE( )，均方誤差實(shí)際上是平均平方誤差的意思。雖然由于 是未知的，MSE( )也并不是總能求得的。但是經(jīng)過(guò)簡(jiǎn)單的推導(dǎo)，總有

MSE( )= 。 (交叉乘積項(xiàng)為零)

(三) 求點(diǎn)估計(jì)的方法-一矩法估計(jì)

參數(shù)估計(jì)時(shí)，一個(gè)直觀的思想是用樣本均值作為總體均值的估計(jì)，用樣本方差作為總體方差的估計(jì)等。由于均值與方差在統(tǒng)計(jì)學(xué)中統(tǒng)稱(chēng)為矩，總體均值與總體方差屬于總體矩，樣本均值與樣本方差屬于樣本矩。因此上面的做法可用如下兩句話(huà)概括：

(1)用樣本矩去估計(jì)相應(yīng)的總體矩。

(2)用樣本矩的函數(shù)去估計(jì)相應(yīng)總體矩的函數(shù)。

此種獲得未知參數(shù)的點(diǎn)估計(jì)的方法稱(chēng)為矩法估計(jì)。

矩法估計(jì)簡(jiǎn)單而實(shí)用，所獲得的估計(jì)量通常(盡管不總是如此)也有較好的性質(zhì)。例如對(duì)任何總體，樣本均值 對(duì)總體均值 的估計(jì)總是無(wú)偏的，樣本方差 對(duì)總體方差 的估計(jì)也總是無(wú)偏的。但是應(yīng)該注意到矩法估計(jì)不一定總是最有效的，而且有時(shí)估計(jì)也不惟一。

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