2016高考數(shù)學專項練習:平面向量、復數(shù)

A組

一、選擇題

1.若復數(shù)z=m(m-1)+(m-1)(m-2)i是純虛數(shù)，其中m是實數(shù)，i2=-1，則等于(　　)

A.　1　 　B.-　1　　C.　2 　　D.-2

答案：D　解題思路：因為復數(shù)z=m(m-1)+(m-1)·(m-2)i是純虛數(shù)，所以m(m-1)=0且(m-1)(m-2)≠0，所以m=0，則==-.

2.設復數(shù)z=-i·sin θ，其中i為虛數(shù)單位，θR，則|z|的取值范圍是(　　)

A.[1，3 ] B.[-1，3]

C.[1， 2] D.[1，4 ]

答案：D　命題立意：本題考查復數(shù)的運算及三角最值的求解，難度中等.

解題思路：據(jù)已知得，原式=1-i-isin θ=1-(1+sin θ)i，故|z|=[1， ]，當sin θ=-1,1時分別取得最小值與最大值.

3.(呼和浩特第一次統(tǒng)考)已知a=(1,2)，b=(-2，m)，若a∥b，則|2a+3b|等于(　　)

A. B.4 C.3 D.2

答案：B　命題立意：本題考查向量的坐標運算，難度中等.

解題思路：由a∥bm+4=0，解得m=-4，故2a+3b=2(1,2)+3(-2，-4)=(-4，-8)，因此|2a+3b|==4.

4.已知向量a，b是夾角為60°的兩個單位向量，向量a+λb(λR)與向量a-2b垂直，則實數(shù)λ的值為(　　)

A.1 B.-1 C.2 D.0

答案：D　命題立意：本題主要考查平面向量數(shù)量積的運算與平面向量垂直的坐標運算.

解題思路：由題意可知a·b=|a||b|cos 60°=，而(a+λb)(a-2b)，故(a+λb)·(a-2b)=0，即a2+λa·b-2a·b-2λb2=0，從而可得1+-1-2λ=0，即λ=0.

5.已知A，B是單位圓上的動點，且|AB|=，單位圓的圓心為O，則·=(　　)

A.- B.

C.- D.

答案：C　命題立意：本題以單位圓為依托，考查平面向量的數(shù)量積、平面向量的基本定理.

解題思路：由題意知，單位圓的弦AB所對的圓心角AOB=120°，故·=·(-)=·-2=1×1×cos 120°-1=-.故選C.

6.定義一種運算如下：=x1y2-x2y1，復數(shù)z=(i是虛數(shù)單位)的共軛復數(shù)是(　　)

A.-1+(-1)i B.-1-(-1)i

C.+1+(+1)i D.+1-(+1)i

答案：B　命題立意：考查對新概念的理解及復數(shù)的運算，難度中等.

解題思路：由題意，得z=(+i)i-(-1)(-i)=-1+(-1)i， 共軛復數(shù)是-1-(-1)i，故選B.

易錯點撥：注意分析新定義的運算規(guī)則中字母的順序.

7.在直角坐標系中，A(3,1)，B(-3，-3)，C(1,4)，P是和夾角平分線上的一點，且||=2，則的坐標是(　　)

A. B.(-，)

C. D.(-，1)

答案：A　命題立意：本題考查向量的線性運算與坐標運算，正確地表示出的線性表達式是解答本題的關鍵，難度中等.

解題思路：因為=(-6，-4)，=(-2,3)，由點P是角平分線上的一點，故=λ=λ=λ，即||2=λ2×=2λ2=4，解得λ=，故==，故選A.

8.在矩形ABCD中，AB=1，AD=，P為矩形內一點，且AP=.若=λ+μ(λ，μR)，則λ+μ的最大值為(　　)

A. B.

C. D.

答案：B　命題立意：本題考查向量數(shù)量積的運算及均值不等式的應用，難度中等.

解題思路：據(jù)已知||2=(λ+μ)22=λ2+3μ2，整理變形得(λ+μ)2-2λμ=，據(jù)均值不等式可得(λ+μ)2-22≤，解得λ+μ≤，故選B.

9.已知ABC中，AB=AC=2，BC=2，點P為邊BC所在直線上的一個動點，則關于·(+)的值，正確的是(　　)

A.最大值為4 B.為定值2

C.最小值為1 D.與P的位置有關

答案：B　命題立意：本題考查向量的運算，難度中等.

解題思路：利用向量的運算法則求解.取BC的中點D，連接AD，則·(+)=2·=2||2=2，故選B.

舉一反三：平面幾何圖形中的向量問題要充分應用圖象的幾何特征，一般解法有建系法和基底法兩種.

10.對于單位向量a1，a2，“a1=”是“a1+a2=(，1)”的(　　)

A.充分不必要條件 B.必要不充分條件

C.充要條件 D.既不充分又不必要條件

答案：B　命題立意：本題考查了平面向量的概念及坐標運算公式、充要條件的判斷問題，屬推理與分析能力考查題型，難度較大.

解題思路： a1，a2均為單位向量，若a1+a2=(，1)，則a1=a2=，反之，若a1=，則a1+a2=(，1)不一定成立，由此可得“a1=”是“a1+a2=(，1)”的必要不充分條件，故選B.

易錯點撥：充要條件的判斷需要通過命題的正反角度分別推理，正確判斷兩個命題的真假方可得出正確的結論.

二、填空題

11.已知向量a=(k，-2)，b=(2,2)，a+b為非零向量，若a(a+b)，則k=________.

答案：0　命題立意：本題考查向量的坐標運算與數(shù)量積，難度中等.

解題思路：依題意得a+b=(k+2,0)≠0，即k+2≠0，(a+b)·a=k(k+2)=0，因此k=0.

12.如圖，在長方形ABCD中，AB=2，BC=4，點E為BC的中點，點F在邊CD上.若·=2，則·的值是________.

答案：6　命題立意：本題主要考查平面向量的坐標運算，意在考查考生的運算能力.

解題思路：以B為坐標原點，BC，BA所在直線分別為x，y軸建立平面直角坐標系，則由題意知A(0,2)，B(0,0)，C(4,0)，D(4,2)，E(2,0)，設F(4，m)，其中0≤m≤2，則=(0，-2)，=(4，m-2).

·=2，

-2(m-2)=2， m=1，

F(4,1)，=(4,1).

又 =(2，-2)， ·=8-2=6.

13.在ABC中，B=60°，O為ABC的外心，P為劣弧AC上一動點，且=x+y(x，yR)，則x+y的取值范圍為________.

答案：[1,2]　命題立意：本題考查向量的數(shù)量積運算及均值不等式的應用，難度中等.

解題思路：據(jù)已知得2=x22+2xy·+y22，即1=x2+y2-xy=(x+y)2-3xy，x+y=，由P為劣弧AC上一動點知x≥0且y≥0(等號不能同時取得)，從而x+y≥1(x，y中恰有一個為0時取等號).又據(jù)均值不等式得x+y=≤(x>0，y>0)，解得0

14.設G為ABC的重心，若ABC所在平面內一點P滿足+2+2=0，則的值等于________.

答案：2　命題立意：本題考查平面向量的線性運算及數(shù)形結合思想，難度中等.

解題思路：取BC的中點D，由已知+2+2=0得=2(+)=4，說明P，A，D三點共線，即點P在BC邊的中線上，且||=4||，如圖所示，故|A|=|A|，||=|A|，因此=×=2.

15.(東北四市二次聯(lián)考)對于命題：

若O是線段AB上一點，則有||·+||·=0.

將它類比到平面的情形是：

若O是ABC內一點，則有SOBC·+SO CA·+SOBA·=0.

將它類比到空間的情況應該是：

若O是四面體ABCD內一點，則有_________________________.

答案：VO-BCD·+VO-ACD·+VO-ABD·+VO-ABC·=0

命題立意：本題考查了類比推理及推理證明問題，從平面到空間的類比推理是新課標高考中常見的類比推理題型的命題方式.

解題思路：由線段到平面，線段的長類比為面積，由平面到空間，面積可類比為體積，由此可以類比得一命題為，若O是四面體ABCD內一點，則有VO-BCD·+VO-ACD·+VO-ABD·+VO-ABC·=0.

（責任編輯：昆凌）

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